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㈢ 波动方程偏移

波动方程偏移与绕射扫描叠加偏移相比有本质上的重大改进，是目前实际生产中使用的主要偏移方法，其中又以15°有限差分偏移最为典型。

1.15°度有限差分法波动方程偏移

15°度有限差分法波动方程偏移是以地面上获得的水平叠加时间剖面作为边界条件，用差分代替微分，对只包含上行波的近似波动方程求解得到地下各点波场值，并进而获得地下界面真实图像的一种偏移方法。其偏移的过程也是一个延拓和成像的过程。

1）延拓方程的推导

由下述二维波动方程出发

地震波场与地震勘探

根据爆炸反射面模型，将速度缩小一半，即用v/2代替v，可得：

地震波场与地震勘探

此方程有二个解，分别对应于上行波和下行波。地震记录是单纯的上行波记录，故不能用此方程进行延拓，必须将它化为单纯的上行波方程才能利用。通常采用的方法是进行坐标变换后取近似。第一步是坐标变换，令

地震波场与地震勘探

上式中第一个变换无任何改变；第二个变换只是将空间深度z换成时间深度τ，也无实质性变化。关键是第三个变换，它表示不再用传统的旧时钟计时，而是用一个运行速度与旧钟一样，但起始时刻各深度不同的新时钟计时。采用新时钟计时时，上、下行波就表现出差异。

因为坐标变换并不会改变实际波场，故原坐标系中的波场u（x，z，t）与新坐标系中的波场

是完全一样的，即

地震波场与地震勘探

由复合函数微分法，得：

地震波场与地震勘探

将上述二阶偏微分结果代入方程（4-4-3），整理后得：

地震波场与地震勘探

为书写方便，以u、x、t分别代替

，则（4-4-5）式可写为

地震波场与地震勘探

式中u_xx、u_ττ、u_τt分别表示u的二次导数。注意。此方程仍然包含了上行波和下行波，仍不能用来进行延拓，故还有第二步。

经过了坐标变换，虽然波场不变，但在新的坐标系下上、下行波表现出差异，此差异主要表现为u_ττ的大小不同：当上行波的传播方向与垂直方向之间的夹角较小时（小于15°），u_ττ可以忽略；而对下行波来说，u_ττ不能忽略。忽略掉u_ττ项，就得到只包含上行波的近似方程

地震波场与地震勘探

此即15°上行波近似方程（因为它只适用于运行方向与垂直方向间的夹角小于15°的上行波，或曰只有倾角小于15°的界面形成的上行反射波才能满足它），为常用的延拓方程。

为了求解此方程还必须给出定解条件。由于震源强度有限，可以给出如下定解条件：

a.测线两端外侧的波场为零，即

u（x，τ，t）≡0 当 x＞x_max或 x ＜ x_min时

b.记录最大时间以外的波场为零，即

u（x，τ，t）≡0 当 t＞t_max时

c.自激自收记录（水平叠加剖面）为给定的边界条件，即时间深度τ＝0处的波场值u（x，0，t）已知。

图4-4-5 12点差分格式

有了这些定解条件就可以对方程（4-4-7）式求解得到地下任意深度处的波场值u（x，τ，t），这是延拓过程。再根据前述成像原则，取传统旧时钟零时刻时的波场值，即新时钟时间t＝τ时刻的波场值u（x，τ，τ）就组成了偏移后的输出剖面。

2）差分方程的建立

为了求解微分方程（4-4-7）式，用差分近似微分，采用如图4-4-5所示的12点差分格式，可得：

地震波场与地震勘探

将（4-4-8）式和（4-4-9）式代入（4-4-7）式中得：

地震波场与地震勘探

地震波场与地震勘探

定义向量I、T：

I＝［0，1，0］ T＝［-1，2，-1］

令向量u （x，j，l）为

u（x，j，l）＝［u（i-1，j，l），u（i，j，l），u（i＋1，j，l）］

则（4-4-10）式可简写为

地震波场与地震勘探

又令

地震波场与地震勘探

则（4-4-11）式可写成如下形式：

［I-（α＋β）T］u（x，j＋1，l＋1）-［I＋（α-β）T］u（x，j，l＋1）＋［I-（α＋β）T］u（x，j，l）＝［I＋（α-β）T］u（x，j＋1，l）

因此有：

地震波场与地震勘探

此即适合计算机计算的差分方程。

3）计算步骤和偏移结果

差分方程（4-4-12）形式上是一个隐式方程，即时间深度τ＝（j＋1）Δτ处的波场值不能单独地用时间深度τ＝jΔτ处的波场值组合得到，方程右边仍然有τ＝（j＋1）Δτ的项。如图4-4-6所示，为了求得一排数据u（x，j＋1，l），必须用到三排数据u（x，j＋1，l＋1），u（x，j，l＋1）和u（x，j，l）。一般来说，隐式方程的求解必须用求解联立方程的方法进行，比较麻烦，但这里可以利用有利的定解条件，无须复杂的联立运算。

利用定解条件b，在计算新的深度τ＝（j＋1）Δτ处的波场值时，由最大时间开始，首先计算t＝t_max的那一排值。因u（x，j＋1，t_max＋Δt）≡0和u（x，j，t_max＋Δt）≡0，有：

地震波场与地震勘探

计算u（x，j＋1，t_max）只用到已知的u（x，j，t_max）值，十分容易。然后再利用（4-4-12）式递推地求τ＝（j＋1）Δτ深度处任何时刻的波场值就没有任何困难了。

具体计算时由地面向下延拓，计算深度Δτ处的波场值：首先计算此深度处在t＝t_max时的波场，然后向t减小的方向进行计算直至本深度处的全部波场值计算完。一个深度的波场值计算结束后，再向下延拓一个步长Δτ继续计算。依此类推，可以得到地下所有点在不同时刻的波场值。

如前所述，在新时钟t＝τ时刻的波场值正是所欲求的“像”。因此，每次递推计算某一深度τ处的波场值时，由t＝t_max向t减小的方向计算至t＝τ时就可以结束了，u （x，τ，τ）为该深度处的“像”。不同深度处的“像”组成偏移后的输出剖面。

图4-4-6 有限差分法偏移求解中的一步

①u（x，j，l＋1），②u（x，j，l），③u（x，j＋1，l＋1），④u（x，j＋1，l）

图4-4-7 偏移结果取值位置图

图4-4-7画出了偏移时的计算关系及结果取值位置。A表示地面观测到的叠加剖面，由A计算下一个深度Δτ处的波场值B，计算B时先算第1′排的数值（只用到A中第1排数值），再算第2′排数值（要用到A中第1、2排和B中第1′排的数值），依此类推进行计算，直到算出t＝Δτ的值为止，再由B计算下一个深度2Δτ处的波场值C，到算出t＝2Δτ的值为止……在二维空间（x，t＝τ）上呈现出需要的结果剖面信息。

当延拓计算步长Δτ与地震记录的采样间隔Δt一样时，由图4-4-7的几何关系可以看到，偏移剖面是该图中45°对角线上的值。实际工作中Δτ不一定要与Δt相等，应当根据界面倾角大小确定Δτ，倾角较大时应取较小的Δτ，倾角较小时Δτ可取得大一些，以减少计算工作量，中间值用插值方法求得。

与其他波动方程偏移方法相比，有限差分法有能适应横向速度变化、偏移噪声小、在剖面信噪比低的情况下也能很好地工作等优点，但15°有限差分法在界面倾角太大时不能得到好的偏移效果。因此，又发展了45°、60°甚至90°的有限差分偏移方法，有兴趣的读者可参阅有关文献。

2.频率波数域波动方程偏移

有限差分偏移方法是在时间空间域中进行计算的。利用傅里叶变换也可以使偏移在频率波数域中实现。

与有限差分法偏移的思想完全一样，认为水平叠加剖面是由界面上无数震源同时向上发出的上行波在地面处的波场值u（x，0，t），用它反求地下任一点的波场值u（x，z，t）是延拓过程。再根据成像原理，取其在t＝0时刻的值u（x，z，0），就组成了偏移后的输出剖面。

仍由速度减半后的波动方程（4-4-3）出发，对方程两边作关于x和t的二维傅里叶变换，得到一个常微分方程：

地震波场与地震勘探

式中：U＝U（k_x，z，ω）是波场函数u（x，z，t）的二维傅里叶变换，ω＝2πf为角频率，k_x为x方向上的空间波数。

（4-4-13）式是常微分方程，很容易求解。其解有二个，分别对应于上行波和下行波。偏移研究的是上行波的向下延拓问题，故只考虑上行波解

地震波场与地震勘探

其中U（k_x，0，ω）是解的初值，即上行波在地面（z＝0）处记录的傅里叶变换。因此，式（4-4-14）表示由z＝0 处波场的傅里叶变换求出地下任何深度处波场傅里叶变换的过程，是频率波数域中的波场延拓。

通过傅里叶反变换可以由U（k_x，z，ω）求出地下任何深度处的波场值：

地震波场与地震勘探

根据成像原理，偏移结果应是该深度处t＝0时刻的波场值：

地震波场与地震勘探

这就是频率波数域偏移的数学模型。其具体实现步骤就不赘述了。

如果求解常微分方程（4-4-13）时初值不取z＝0处波场值的傅里叶变换，而取任一较浅处的波场傅里叶变换值，则可得到：

地震波场与地震勘探

从而得到相移法偏移的数学模型：

地震波场与地震勘探

利用此式可逐步向下延拓成像，每延拓一次所用的速度均可改变，所以相移法能够适应速度的纵向变化。

由于快速傅里叶变换的应用，频率波数域偏移法效率十分高，运行时间少，是波动方程偏移算法中最经济的方法，且适用于大倾角地区。因为计算在频率波数域中进行，需要注意假频问题，且此法对横向速度变化的地区不太适应。

3.克希霍夫积分偏移

克希霍夫积分偏移是一种基于波动方程克希霍夫积分解的偏移方法。

三维纵波波动方程的克希霍夫积分解（见第一章）为

地震波场与地震勘探

式中Q为包围点（x，y，z）的闭曲面，n为Q的外法线，r为由（x，y，z）点至Q面上各点的距离，［ ］表示延迟位，

。

此解的实质是由已知的闭曲面Q上各点波场值计算面内任一点处的波场值，它正是惠更斯原理的严格数学形式。

选择闭曲面Q由一个无限大的平地面Q₀ 和一个无限大的半球面Q₁ 所组成。Q₁ 面上各点波场值的面积分对面内一点波场函数的贡献为零，因此仅由平地面Q₀ 上各点的波场值计算地下各点的波场值。在此条件下，地下任一点的波场值为

地震波场与地震勘探

此时，原公式中的

项消失，积分号前的负号也因z轴正向与n相反而变为正。

已知源函数，求取波传到某点的波场值是正问题。以上是正问题的克希霍夫积分计算公式。偏移处理的是反问题，是将地面接收到的波场值看作为二次震源，将时间“倒退”寻找地下波场值，取t＝0 时刻的波场值确定反射界面的问题。反问题也能用上式求解，差别仅在于［ ］不再是延迟位而是超前位，

。根据这种理解，克希霍夫积分延拓公式应为

地震波场与地震勘探

按照成像原理，t＝0时刻的波场值即为偏移结果。只考虑二维偏移，忽略掉y坐标，将空间深度z转换为时间深度t₀＝2z /v，得到克希霍夫积分偏移公式

地震波场与地震勘探

式中：

；x_l为地面记录道横坐标；x为偏移后剖面道横坐标（见图4-4-8）。

图4-4-8 克希霍夫偏移公式中各量示意图

由

，得：

地震波场与地震勘探

由此可见，克希霍夫积分偏移与绕射扫描叠加十分相似，都是按照绕射双曲线取值叠加后放在双曲线顶点处。不同之处在于：

a.不仅要取各道的幅值，还要取各道幅值对时间的导数值

参加叠加；

b.各道相应幅值叠加时不是简单的相加，而是按（4-4-22）式的加权叠加。

正因如此，所以虽然形式上克希霍夫积分偏移法与绕射扫描叠加偏移类似，但二者有着本质的区别。前者的基础是波动方程，可保留波的动力学特性；后者属几何地震学范畴，只保留波的运动学特征。

与其他波动方程偏移法相比，克希霍夫积分法具有容易理解，能适应大倾角地层等优点。它在速度横向变化较大的地区难以使用，且偏移噪声较大。

地震波实际上是在三维空间中传播的，故要实现完全的偏移必须是三维偏移。目前三维偏移方法已经得到了极大的发展，从二步法到分裂法，到目前已经实现了没有近似的一步法完全三维偏移。

上面介绍的叠后偏移有一个基本假设，即水平叠加剖面是自激自收剖面，实际在地下界面较复杂时这一假设是不成立的。为了实现真正的叠加和偏移，发展了叠前偏移方法，它将偏移与叠加同时进行，保证了能达到真正的共反射点叠加。但是，一次就完成偏移和叠加的任务对于求取速度参数是不利的。为此又发展了叠前部分偏移方法，它只进行部分偏移，使共中心点道集成为真正的共反射点道集，以保证实现共反射点叠加。叠前部分偏移方法加叠后偏移就等于叠前偏移。有了共反射点道集，就好进行速度分析。

目前大部分偏移还是时间偏移，即偏移后得到的是时间剖面。时间偏移没有考虑地震波穿过界面时的弯折现象。如果考虑这一现象，偏移后得到的就是深度剖面，这种偏移称为深度偏移。目前，三维叠前深度偏移是最先进的偏移方法。

地震波实际上是弹性波。目前的偏移方法均使用声波方程，它只是一种声波偏移，要实现真正完全的偏移应当是弹性波偏移。因为需要多波地震资料，目前弹性波偏移还很少使用。

㈣ 质粒图谱怎么看

1.第一步，看箭头：

大多数质粒都会有箭头，箭头有两种解释。一种是转录方向，转录方向主要是由启动子开始的一个大箭头，是启动子启动序列的顺序。另一种是复制起始位点的方向，复制起始位点就是该质粒在大肠杆菌等细菌或真菌中DNA复制的一个方向。

还需要提到的是F1启动子（图上的f1 ori）代表的是噬菌体的复制起始方向，只能复制出单链的DNA哦，但是可以用来测序。看懂转录的方向，这样就方便设计插入片段的位置和方向性。

2.第二步，看上面的标签。

报告基因：通常会有一两个蛋白，被用作报告基因，比如常见的copGFP（绿色荧光蛋白），Puro（嘌呤霉素），Lacz（乳糖操纵子）等等。和抗性基因不同，这样的报告基因，并不是为了在大肠杆菌扩增质粒的过程中起作用的。

而是在质粒转入表达体系后起到作用的，基本上就是为了显示过表达或是敲减的基因是否正常运作。有的报告基因会融合在蛋白中表达，有的会另外用一个独立的启动子进行表达（比如shRNA的质粒中）。

3.第三步，看多克隆位点：

MCS（Multiple Cloning Site，也就是多克隆位点），一般图中会把多克隆位点上的酶切位点都标记出来。上面的酶切位点顺序，一般都是按照5`-3`的顺序排列下来的，需要注意的是这样几点。

第一点是要注意，酶切位点边标注了*的一般是指并不仅仅存在一个位点，也就不能用来作为构建质粒的酶切位点。

第二点需要注意的是，有的酶切位点，在序列中只有一个，但它上面也会标注一个*或者（dam），这说明可能这个酶切位点会有CpG岛的甲基化修饰[常见的是XbaI，TCTAG(6m)A中的TC无法切开]，一般也是不能用的。但是非要用这个酶切位点的话，就需要用非甲基化的感受态细胞，如JM109或者JM110。

4.第四步，看多克隆位点的序列：

末端如果有差异的话，可以把基因的ATG（甲硫氨酸）的5`末端替换1-2个碱基（变成GTG或者GCG这样），从第二个氨基酸序列开始完全一致即可。而配合扩增和酶切的话，插入片段是允许有3`末端的冗余。

为了可以应付3`末端的冗余碱基，在多克隆位点序列后，会有译码的终止TAA密码，即使插入的片段使得3`末端产生了移码突变，照样能使表达的蛋白正常终止掉（在酵母双杂的AD质粒中，由于插入的是随机cDNA，所以AD的载体上会常见这样的结构）。

(4)获得trx扩展阅读

分类

1.根据质粒能否通过细菌的接合作用，可分为接合性质粒和非接合性质粒。

接合性质粒带有与接合传递有关的基因。非接合质粒在一定条件下通过与其共存的接合质粒的诱动或转导而传递。

2.根据质粒在细菌内的复制类型可分为两类：严紧控制型和松弛控制型。

严紧控制复制型质粒的复制酶系与染色体DNA复制共用，只能在细胞周期的一定阶段进行复制，当细胞染色体停止复制时，质粒也就不再复制。

松弛控制复制型的质粒的复制酶系不受染色体DNA复制酶系的影响，在整个细胞生长周期中随时都可以复制，在染色体复制已经停止时质粒仍能继续复制。

3.根据质粒的不相容性，可分为不相容性和相容性。

不相容性指结构相似、密切相关的质粒不能稳定地共存于同一宿主细菌内的现象，反之为相容性。常用于流行病学的调查。

㈤ 比特派钱包里如何买TRX

摘要 记好助记词之后进入钱包页面，在首页找到一键买卖。

㈥ trx能量怎么买

摘要 如何获得带宽与能量？

㈦ trx币创始人孙宇晨获得诺贝尔奖提名是真的吗

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㈧ trx转账需要多少能量

转账1个TRR代币大概需要315能量。

转账TRC20代币或交易等，都会消耗能量和带宽。比如以转账TRR代币为例：转账89个TRR代币需要消耗345带宽和28031能量，该地址没有足够的能量，则抵扣了3.92434TRX作为手续费。

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能量是比较“珍贵”的资源了，账户每天没有免费的能量，如果想要获得能量有2种方式可以获得：

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火币锁仓TRX到期怎样取出来【提问】
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㈩ 波动方程偏移方法

射线偏移是一种近似的几何偏移，虽然地震波的运动学特点得以恢复，但波的动力学特点(如振幅、波形、相位等)却受到畸变，因此，射线偏移已逐渐被高精度的波动方程偏移所代替。波动方程偏移是以波动理论为基础的偏移处理方法，其基本思路是，当地表产生弹性波向下传播(称为下行波)，遇到反射界面时将产生反射，这时可将反射界面看作新的波源，又有新的波以波动理论向上传播(称为上行波)，在地表接收到的地震记录就可看作反射界面产生的波场效应。偏移就是将地表接收到的波场按波动方程的传播规律反向向下传播，通常称为波场反向延拓，当波场反向延拓到反射界面时成像(成像剖面为偏移剖面)，从而找到了真实反射界面，达到了偏移处理的目的。可见波动方程偏移主要由波场延拓和成像两部分组成。波场延拓可用多种不同的方法实现，随之形成了多种不同的波动方程偏移方法。成像也有成像的原理，叠前和叠后偏移各有不同的成像条件。

3.4.3.1 波动方程偏移的成像原理

波动方程成像原理分叠后偏移成像原理和叠前偏移成像原理。

3.4.3.1.1 爆炸反射界面成像原理

该原理属叠后偏移成像原理。叠加剖面相当自激自收剖面，若将剖面中时间除2，或将传播速度减一半，就可将自激自收剖面看作在反射界面上同时激发的地震波沿界面法线传播到地表所接收的记录，即可将界面看作爆炸源，称为爆炸反射界面。若用波动方程将地表接收的波场(叠加剖面)作反时间方向传播(向下延拓)，当波场延拓到时间t为零(t=0)时，该波场的所在位置就是反射界面位置。因此，t=0成为叠后波动方程偏移的成像条件。从延拓的结果(地下各点的波场)中取出地下各点处零时刻的波场值组成的剖面就为成像剖面，该剖面为叠后波动方程偏移结果。

3.4.3.1.2 波场延拓的时间一致性成像原理

图3-22 时间一致性成像原理示意图

时间一致性成像原理适用于叠前偏移。此成像原理可描述为：在地下某一深度存在一反射界面R(如图3-22(a))，在地面S点激发的下行波D到达界面R时产生反射上行波U，到达G点被接收，下行波D到达界R面的时间(或空间位置)与上行波U产生的时间(或空间位置)是一致的，即称为时间(或空间位置)一致性。设波从S点到R的传播时间为t_s，从R至G的传播时间为t_g，从S到G的总时间为t_sg=t_s+t_g。在叠前偏移中，若模拟一震源函数D自S点正向(向下)延拓，而将G点接收到的上行波U反向延拓，当D和U延拓深度为Z₁时，D的正向传播时间和U的反向传播时间分别为t_s1和t_g1，因Z₁＜Z_R(Z_R为反射点深度)，t_sg-t_g1＞t_s1，说明上行波和下行波所在的时间(或空间位置)不一致(如图3-22(b))，当D和U延拓深度为z_z=Z_R时，下行波正向传播时间为t_s1=t_s，上行波反向传播时间为t_g2=t_g，即有t_sg-t_g2=t_s2，或t_sg-t_g=t_s，这时上、下行波所在的时间(或空间位置)是一致的。再将D、U延拓到Z₃，Z₃＞Z_R，即当延拓深度Z＞Z_R以后，不会再出现时间(或深度位置)一致的现象。在上、下行波延拓过程中，若求下行波场D和上行波场U的零移位互相关，在满足时间(或空间位置)一致性条件时，相关值最大，而在其他情况下相关值很小或为零，延拓过程中的相关结果就为叠前偏移成像剖面。

3.4.3.2 叠后波动方程偏移方法

叠后偏移是在叠加剖面的基础上进行偏移处理。叠后波动方程偏移是用某些数学手段求解波动方程，对叠后波场延拓归位，达到偏移的目的。针对求解波动方程的方法，可将波动方程偏移分为三大类主要方法：有限差分法波动方程偏移、F－K域波动方程偏移和克希霍积分法波动方程偏移。

3.4.3.2.1 15°有限差分法波动方程偏移

15°有限差分法波动方程偏移是以地面上获得的水平叠加时间剖面作为边界条件，用差分代替微分，对只包含上行波的近似波动方程求解以得到地下界面的真实图像。这也是一个延拓和成像的过程。

3.4.3.2.1.1 延拓方程的推导

由下述二维波动方程出发。

地震勘探原理、方法及解释

根据爆炸反射面模型，将速度缩小一半，即用V/2代替V，可得

地震勘探原理、方法及解释

此方程有两个解，分别对应于上行波和下行波。但地震记录是上行波记录，故不能用此方程进行延拓，必须将它化为单纯的上行波方程才能利用。通常采用的方法是进行坐标变换后取近似值。第一步是坐标变换，令

地震勘探原理、方法及解释

上式中第二式是把方程中的深度坐标变为时间坐标。第三式是上行波的坐标变换。若称t为老时间，t′为新时间。因为坐标变换不改变实际波场，故原坐标系中波场u(x，z，t)与新坐标系中的波场

(x′，τ，t′)一样，即

地震勘探原理、方法及解释

由复合函数微分法，得

地震勘探原理、方法及解释

将上述二阶偏微分结果代入方程(3.4-2)，整理后得

地震勘探原理、方法及解释

为书写方便，以u、x、t分别代替u′、x′、t′，则(3.4-5)式可写为

地震勘探原理、方法及解释

式中：u_xx，u_ττ，u_τt分别表示u的二次导数。注意，此方程仍然包含了上行波和下行波，仍不能用来进行延拓，故还有第二步。

经过了坐标变换，虽然波场不变，但在新坐标系下，上、下行波表现出差异，此差异主要表现为u_ττ的大小不同。当上行波的传播方向与垂直方向之间的夹角较小时(小于15°)，u_ττ可以忽略，而对下行波来说，u_ττ不能忽略。忽略掉u_ττ项，就得到只包含上行波的近似方程

地震勘探原理、方法及解释

此即15°近似方程(因为它只适用于夹角小于15°的上行波，或者只有倾角小于15°的界面形成的上行波才能满足它)，为常用的延拓方程。

为了求解此方程还必须给出定解条件。由于震源强度有限，可给出如下定解条件

1)测线两端外侧的波场为零，即

u(x，τ，t)≡0 当 x＞ x_max或 x＜x_min时

2)记录最大时间以外的波场为零，即

u(x，τ，t)≡0 当 t＞ t_max时

3)自激自收记录(水平叠加剖面)为给定的边界条件，即时间深度τ=0 处的波场值u(x，0，t)已知。

有了这些定解条件就可对方程(3.4-7)求解得到地下任意深度处的波场值u(x，τ，t)，这是延拓过程。再根据前述成像原理，取(3.4-4)中，第三式的老时间t=0时刻时的波场值，即新时间t=τ时刻的波场值u(x，τ，t)就组成了偏移后的输出剖面。

图3-23 12点差分格式

3.4.3.2.1.2 差分方程

为了求解微分方程(3.4-7)，用差分近似微分，采用如图3-23所示的12点差分格式，将u_xx、u_τt表示为差分表达式，可得差分方程

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式中：I和T为向量

I=[0，1，0] T=[-1，2，-1] (3.4-9)

α和β为标量

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3.4.3.2.1.3 计算步骤和偏移结果

差分方程(3.4-8)形式上是一个隐式方程。即时间深度τ=(j+1)Δτ处的波场值不能单独地用时间深度τ=jΔτ处的波场值组合得到，方程右边仍有τ=(j+1)Δτ 的项。为了求得一排数据u(x，j+1，l)必须用到三排数据u(x，j+1，l+1)，u(x，j，l)和u(x，j，l+1)(图3-24)。

图3-24 有限差分法偏移求解中的一步

①u(x，j，l+1)；②u(x，j，l)；③u(x，j+1，l+1)；④u(x，j+1，l)

利用第二个定解条件，在计算新的深度τ=(j+1)Δτ处波场值时，由最大时间开始，首先计算t=t_max的那一排值。因u(i，j+1，t_max+Δt)≡0和u(i，j，t_max+Δt)≡0，有

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计算u(i，j+1，t_max)只用到已知的u(i，j，t_max)值，十分容易。然后再利用(3.4-8)式递推地求τ=(j+1)Δτ深度处任何时刻的波场值就没有任何困难了。

具体计算时由地面向下延拓，计算深度Δτ处的波场值。首先计算此深度处在t=t_max时的波场，然后向t减小的方向进行。一个深度计算结束，再向下延拓一个步长Δτ继续计算。依此类推，可以得到地下所有点在不同时刻的波场值。

如前所述，在新时间t=τ时刻的波场值正是所欲求的“像”。因此，每次递推计算某一深度τ处的波场值时，由t=t_max向t减小的方向计算至t=τ时就可以结束。不同深处的“像”u(x，τ，t)组成偏移后的输出剖面。

图3-25 画出了偏移时的计算关系及结果取值位置。A 表示地面观测到的叠加剖面。由A计算下一个深度Δτ处的波场值 B，计算 B 时先算第1′排的数值(只用到A中第1排数值)，再算第2′排数值(要用A 中第1、2 排和B 中第1′排数值)，依此类推，直到 t=τ 为止。再由 B算下一个深度2Δτ处波场值C，……在二维空间(x，t=τ)上呈现出需要的结果剖面信息。

图3-25 偏移结果取值位置图

当延拓计算步长Δτ与地震记录的采样间隔Δt一样时，由图3-25 的几何关系可以看到，偏移剖面是该图中45°对角线上的值。实际工作中 Δτ 不一定要与Δt相等，可根据界面倾角大小确定Δτ，倾角较大时应取较小的Δτ，倾角较小时Δτ可取的较大些，以减少计算工作量。中间值可用插值求得。

与其他波动方程偏移方法相比，有限差分法有能适应横向速度变化，偏移噪声小，在剖面信噪比低的情况下也能很好地工作等优点。但15°有限差分法对倾角太大的情况不能得到好的偏移效果。因此，相继又研究发展了45°、60°有限差分偏移方法和适应更大倾角的高阶有限差分分裂算法。

3.4.3.2.2 频率波数域波动方程偏移

有限差分偏移方法是在时间空间域中进行的。利用傅里叶变换也可使偏移在频率波数域中实现。

与有限差分法偏移思想完全一样，认为水平叠加剖面是由界面上无数震源同时向上发出的上行波在地面处的波场值u(x，0，t)，用它反求地下任一点的波场值u(x，z，t)，这是延拓；据成像原理，取其在t=0时刻的值u(x，z，0)，组成偏移后的输出剖面。

仍由速度减半后的波动方程(3.4-2)出发，对方程两边做关于x和t的二维傅里叶变换，得到一个常微分方程

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式中：

=

(k_x，z，ω)为波场函数u(x，z，t)的二维傅里叶变换，ω=2πƒ为圆频率，k_x为x方向上的空间波数。

式(3.4-11)是常微分方程，其解有两个，分别对应于上行波和下行波。偏移研究的是上行波的向下延拓问题，故只考虑上行波解

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其中U(k_x，0，ω)为解的初值，即上行波在z=0处的记录的傅里叶变换。因此，式(3.4-12)表示由z=0处波场的傅里叶变换求出任何深度处波场傅里叶变换的过程，是频率波数域中的波场延拓方程。

通过傅里叶反变换可由

(k_x，z，ω)求出地下任何深度处的波场值

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根据成像原理，偏移结果应是这些点处t=0时刻的波场值

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这就是频率波数域偏移的数学模型。由于该式不是傅里叶变换公式，为了能利用快速傅里叶变换求解，经变量置换后，上式可变为一个傅里叶反变换公式。

3.4.3.2.3 克希霍夫积分偏移

克希霍夫积分偏移是一种基于波动方程克希霍夫积分解的偏移方法。

三维纵波波动方程的克希霍夫积分解(可见原理部分)为

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式中：Q为包围点(x，y，z)的闭曲面，n为Q的外法线，r为由(x，y，z)点至Q面上各点的距离，[ ]表示延迟位，[u]=u(t-r/V)。

此解的实质是由已知的闭曲面Q上各点波场值计算面内任一点处的波场值。它正是惠更斯原理的严格数学形式。

选择闭曲面Q由一个无限大的平面Q₀和一个无限大的半球面Q₁所组成。Q₁面上各点波场值的面积分对面内一点波场函数的贡献为零。因此，仅由平地面Q₀上各点的波场值计算地下各点的波场值

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此时，原公式中的

项消失，积分号前的负号也因z轴正向与n相反而变为正。

以上是正问题的克希霍夫积分计算公式。偏移处理的是反问题，是将反射界面的各点看作为同时激发上行波的源点，将地面接收点看作为二次震源，将时间“倒退”到t=0时刻，寻找反射界面的源波场函数，从而确定反射界面。反问题也能用上式求解，差别仅在于[ ]不再是延迟位而是超前位，

。根据这种理解，克希霍夫积分延拓公式应为

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按照成像原理，此时t=0时刻的波场值即为偏移结果。只考虑二维偏移，忽略掉y坐标，将空间深度z转换为时间深度t₀=2z/V，得到克希霍夫积分偏移公式

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式中：τ=

]^1/2，x_l为地面记录道横坐标，x为偏移后剖面道横坐标，r=[z²+(x-x_l)²]^1/2(见图3-26)。

由

=-cosθ，得

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由此可见，克希霍夫积分偏移与绕射扫描叠加十分相似，都是按双曲线取值叠加后放在双曲线顶点处。不同之处在于：①不仅要取各道的幅值，还要取各道的幅值对时间的导数值

参加叠加；②各道相应幅值叠加时不是简单相加，而是按(3.4-18)式的加权叠加。

正因如此，所以虽然形式上克希霍夫积分法与绕射扫描叠加类似，但二者有着本质区别。前者的基础是波动方程，可保留波的动力学特性，后者属几何地震学范畴，只保留波的运动学特征。

图3-26 克希霍夫偏移公式中各量示意图

与其他波动方程偏移法相比，克希霍夫积分法具有容易理解，能适应大倾角地层等优点。但它在速度横向变化较大的地区难以使用，且偏移噪声较大。

3.4.3.3 叠前波动方程偏移简介

叠后偏移需经过水平叠加处理才能进行，水平叠加本身是以射线理论为基础的近似处理方法，随着构造的复杂程度以及波场的复杂程度增加而误差越来越大，叠后偏移效果也随构造的复杂度而降低。叠前偏移是直接对野外接收的波场偏移归位，不受动校叠加的影响，理论和实践均证明其偏移效果明显优于叠后偏移。叠前偏移是偏移成像领域的发展方向。叠前偏移有二维或三维偏移，三维偏移可实现三维空间归位成像，成像质量优于二维。实现叠前偏移的方法同样有差分法、F—K法和积分法以及混合方法。下面以相移法三维叠前深度偏移为例，讨论叠前偏移的原理及实现方法。

由三维纵波方程

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设

(k_x，k_y，z，ω)为p(x，y，z，t)的三维傅里叶变换，对(3.4-19)式作三维傅里叶变换，可求解得

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式中：

式(3.4-20)称为相移延拓公式，仅适应V为常数的情况。

设地下为水平层状界面，在某一深度Z处ΔZ厚度层内的层速度为常数的条件下，该层的延拓公式为

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该式为适应纵向变速V=V(z)的相移延拓公式。

设

(k_x，k_y，0，ω)为震源函数S(x，y，0，t)的三维傅里叶变换，

(k_x，k_y，0，ω)为地面接收的地震记录R(x，y，0，t)的三维傅氏变换，则将震源函数在(k，ω)域正向延拓z的公式为

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将记录R反向延拓Z的公式为

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对(3.4-22)、(3.4-23)式作三维反傅里叶变换，并根据时间或深度一致性成像原理，求两波场在(x，y，z)点的互相关为

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当相关延迟时间τ=0时，即得成像结果

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该式也可以在(x，y，z，ω)域计算。

对横向变速介质，当V=V(x，y，z)时，(3.4-20)式中的k_z应为

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该式可写成

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式中V_α为在Z深度平面的平均速度，则三维相移因子为

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为满足相移公式条件，先用水平面平均速度V_α做纵向延拓，设延拓后的波场为

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则横向变速的结果为：

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在式(3.4-30)中的指数部分用二项式展开并略去高次项，得

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该式即是相移法延拓后适应速度横向变化的校正因子。根据不同的精度要求保留相应高次项，可分别作一阶、二阶或三阶校正。校正可在F-K域进行，也可在F-x域进行，若在F-x域用差分法进行校正，则称为混合法波动方程叠前深度偏移。以上叠前深度偏移方法的实现过程是对共炮集三维观测记录分别偏移成像，然后按空间位置叠加。