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Ⅰ 材料科學在計算機中的應用課件

計算機在材料科學中的應用復習資料
考試題型：
不定項選擇：20分；
填空：20分；
名詞解釋：12分；
簡答：30分；
計算：18分（1個）
考試時間地點：
7月5日（20周周二）下午14：00—16：00 江安綜C504
復習內容：
選填、名解：
1、材料的分類：
根據其組成和結構，分為金屬材料、無機非金屬材料、有機高分子材料和復合材料等；
根據其性能特徵和作用，分為結構材料和功能材料等；
根據用途，分為建築材料、能源材料、電子材料、耐火材料、醫用材料和耐腐蝕材料等。
2、曲線擬合和最小二乘法：
最小二乘法：在方差意義下對實驗數據實現最佳擬合的方法。
曲線擬合：根據一組數據，即若干點，要求確定一個函數，即曲線，使這些點與曲線總體來說盡量接近。（目的：根據實驗獲得的數據去建立因變數與自變數之間有效的經驗函數關系，為進一步的深入研究提供線索。）
3、建立數學模型的基本步驟：
1）建模准備(收集相關信息數據，弄清背景和目的)
2）建模假設(目的性、簡明性、真實性、全面性)
3）構造模型(區分參量，選擇恰當的工具和構造方法)
4）模型求解(設計或選擇求解模型的數學方法和演算法)
5）模型分析(穩定性分析、靈敏度分析、誤差分析)
6）模型檢驗(是否符合客觀)
7）模型應用(建模的宗旨，對模型最客觀，公正的檢驗)
4、有限差分法（FDM）基本原理、實質：
基本原理：有限差分法(FDM)將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。FDM通過Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。
實質：以有限查分代替無限微分、以差分代數方程代替微分方程、以數值計算代替數學推導的過程，從而將連續函數離散化，以有限的、離散的數值代替連續的函數分布。
5.有限元法（FEM）的基礎、基本思想，網格劃分方法：
有限元法的基礎是變分原理和加權餘量法，其基本思想是把連續的幾何結構離散成有限個單元，並在每一個單元中設定有限個節點，從而將連續體看作僅在節點處相連接的一組單元的集合體，同時選定場函數的節點值作為基本未知量，並在每一單元中假設一近似插值函數以表示單元中場函數的分布規律，再建立用於求解節點未知量的有限元方程組，從而將一個連續域中的無限自由度問題化為有限域中的有限自由度問題，求解得到節點值後就可以通過設定的插值函數確定單元上以至整個集合體上的場函數。
有限元法的基礎是用有限個單元體的集合來代替原有的連續體。因此首先要對彈性體進行必要的簡化，再將彈性體劃分為有限個單元組成的離散體。單元之間通過單元節點相連接。由單元、結點、結點連線構成的集合稱為網格。
通常把三維實體劃分成4面體或6面體單元的網格，平面問題劃分成三角形或四邊形單元的網格。
6、名詞解釋：節點、單元
節點：用於確定單元形狀、表述單元特徵及連接相鄰單元的點稱為節點。節點是有限元模型中的最小構成元素。多個單元可以共用一個節點，節點起連接單元和實現數據傳遞的作用。
單元：有限元模型中每一個小的塊體稱為一個單元。根據其形狀的不同，可以將單元劃分為以下幾種類型：線段單元、三角形單元、四邊形單元、四面體單元和六面體單元等。
7.FDM與FEM的區別：
1）有限元法處理物理問題，不需要建立微分方程這一步驟，並且其物理問題在離散化的整個過程中就始終具有明確的物理意義。而有限差分法則不然。兩種方法處理問題的數學方法有較大差別。
2）有限差分法和有限元法在對區域的離散化方法上也有明顯的差別。有限元法的三角形劃分區域配置比較任意，其對邊界和界面的逼近良好，有較好的計算精度。計算格式復雜，但其可以計算機化，程序也易標准化，故不影響其實際應用。
3）有限元法用統一的觀點對區域內的節點和邊界節點列出計算格式。這樣各節點的計算精度總體比較協調。而有限差分法各節點精度總體上不夠一致。
4）有限元法要求計算機內存量較大，需要准備輸入的數據量也比較大，這是它的缺點之一。事實上，有限差分法比有限元法使用的更廣法，有很多物理問題目前不能用有限元法處理，但總能可以用有限差分法處理。特別是在邊界形狀比較規則時，採用有限差分法是最合適的。
8、Monte Carlo方法的隨機數生成法，偽隨機數檢驗的兩個最基本原則：
物理方法：用物理方法產生隨機數的基本原理是：利用某些物理現象，在計算機上增加些特殊設備，可以在計算機上直接產生隨機數。這些特殊設備稱為隨機數發生器。用來作為隨機數發生器的物理源主要有兩種：一種是根據放射性物質的放射性，另一種是利用計算機的固有雜訊。
數學方法：在計算機上產生隨機數最實用、最常見的方法是數學方法，即用遞推公式產生隨機數序列。對於給定的初始值ξ1,ξ2…，ξk，確定ξn+k，n=1，2，…。經常使用的是k=1的情況，對於給定的初始值ξ1，確定ξn+1，n=1,2…
由於用數學方法產生的隨機數存在兩個問題，常稱用數學方法產生的隨機數為偽隨機數。用數學方法產生的偽隨機數容易在計算機上得到，可以進行復算，而且不受計算機型號的限制。因此，這種方法雖然存在著一些問題，但仍然被廣泛地在計算機上使用，是在計算機上產生偽隨機數的主要方法。
如今比較流行的，並用的最多的是同餘產生器，其通過如下線性同餘關系式來產生數列

其中，x0稱為種子。a,c,x0,m為大於零的整數，分別稱為乘子，增量，初值和模。使用時需要仔細挑選模數m和乘子a，使得產生出的偽隨機數的循環周期要盡可能的長。c0時能實現最大的周期，但是得到的偽隨機數特性不好。通常選取x0為任意的非負整數，乘子a和增量c取如:a=4q+1，c=2p+1 p,q為正整數。p, q, x0, m值選擇一般是通過定性分析和計算機實驗來選擇，使得到的偽隨機數列具有足夠長的周期，而且獨立性和均勻性都能通過一系列的檢驗。
偽隨機數特性好壞是通過各種統計檢驗來確定的，這些檢驗包括均勻性檢驗，獨立性檢驗，組合規律檢驗，無連貫性檢驗，參數檢驗等等。最基本的是均勻性和獨立性的好壞檢驗。
9、分子動力學中的勢函數及其基本限制：
勢函數：對勢(雙體勢)認為原子之間的相互作用是兩兩之間的作用，與其他原子的位置無關，在分子晶體，離子型化合物以及部分金屬的模擬計算之中取得了比較大的成功。如Lennard-Jones勢(下圖) 常用於描述氣體分子或水分子間的作用力；Morse勢和Johnson勢常用於描述金屬。但對於過渡金屬，由於金屬鍵中還含有一定的共價鍵，所以遇到困難。


MD法和隨機模擬法一樣，面臨兩個基本限制：一是有限觀測時間的限制；二是有限系統大小限制。
10、傅立葉導熱方程：
法國數學家Fourier通過對導熱數據和實踐經驗的歸納研究，將導熱規律總結為Fourier定律，即單位時間內通過等溫面的熱流量與溫度梯度及傳熱面積成正比：


dQ為單位時間內通過等溫面的熱流量(W)；k為材料導熱系數(W/m.K)；n為邊界法向；s為等溫面面積(m2)；T為溫度(K)。
11、應力場及應力—應變關系：
1) 應力
材料在外力作用下，其尺寸和幾何形狀會發生改變，在產生「變形」的同時，材料內部各部分之間會產生「附加內力」，簡稱「內力」。截面上某點處的應力，也就是這點處分布內力的集度，反映了截面上此點處內力的大小和方向。一點處的應力可以看作是該點位置坐標及所取截面方向的函數。
為描述彈性材料中一點P處的應力狀態，圍繞P點取出一個棱長為dx，dy，dz的微單元體，由於dx，dy，dz趨於無限小，這個單元體可等同於要考察的P點，因此研究單元體各個截面上的應力，也就等同於研究P點的應力狀態。如下圖：
彈性力學證明，六個切應力分量具有如下關系：

因此，如果已知材料任一點P處的x, y, z, xy , zy , zx這六個應力分量，就可以求出經過此點任意截面的正應力與切應力。也就是說這六個應力分量相互獨立，能夠唯一確定材料內任意一點處的應力狀態。


2) 應變
描述物體受力發生變形後相對位移的力學量稱為應變。應變分為正應變和切應變，由六個應變分量表示，分別為x, y, z, xy, yz, zx。正應變是指平行六面體各邊的單位長度的相對伸縮；切應變是指平行六面體各邊之間直角的改變，以弧度表示。對於正應變，伸長時為正，縮短時為負；對於切應變，兩個沿坐標軸正方向的線段組成的直角變小時為正，變大時為負。
3）物理方程(應力應變關系方程)
彈性體的應力應變關系可用Hooke定律描述。在三維情況下，彈性體內任意一點獨立的應力分量有六個，其應力應變關系可以由廣義Hooke定律表示為：
式中：E為彈性模量，v為泊松比，
12、金屬中擴散規律：
Fick第一定律：
不均勻體系中，各自獨立的分子群從高濃度區域遷移到低濃度區域的過程稱為擴散。在穩態擴散條件下，擴散物質垂直穿過第i個單位截面的擴散通量(Ji)跟穿過擴散方程的濃度梯度(ci/ x)及其擴散系數(Di)有直接關系：

這就是Fick第一擴散定律的一維形式，負號表示通量是往濃度減少的方向。造成梯度的原因主要是濃度分布不均。
Fick第二定律：
實際上，大多數重要的擴散是非穩態的，在擴散過程中擴散物質的濃度隨時間而變化。為了研究這種情況，根據擴散物質的質量平衡，在Fick第一定律基礎上推導了Fick第二定律，即：

如果Di為常數，得到：
如果是三維情況，則在x,y,z方向上的擴散系數分別為Dx,Dy,Dz，得到:


當為各向同性時，即Dx=Dy=Dz=D，得到：
13、資料庫組成與特徵：
資料庫系統是指由資料庫，資料庫管理系統，應用程序，資料庫管理員，用戶等構成的人機系統。現代資料庫系統至少包括以下三個部分：i)資料庫，一個結構化的相關數據的集合，包括數據本身和數據間的聯系，它獨立於應用程序而存在，是資料庫系統的核心和管理對象；ii)物理存儲器，保存數據的硬體介質，如磁碟，光碟等大容量存儲器；iii)資料庫軟體，負責對資料庫管理和維護的軟體。具有對數據進行定義，描述，操作和維護的功能，接受並完成用戶程序及終端命令對資料庫的不同請求，負責保護數據免受各種干擾和破壞。
主要特徵：和文件管理方式相比，計算機資料庫系統管理數據有以下幾個特徵：
a) 數據共享
b) 數據獨立性
c) 減少數據冗餘
d) 數據的結構化
e) 統一的數據保護功能
14、專家系統的組成：
專家系統由知識庫、綜合資料庫、推理機、知識獲取機制、解釋機制和人機介面六個部分組成。

知識庫是問題求解所需要的領域知識的集合，包括基本事實、規則和其他有關信息。
綜合資料庫主要由問題的有關初始數據和系統求解期間所產生的中間信息組成。
推理機是實施問題求解的核心執行機構，它實際上是對知識進行解釋的程序，根據知識的語義，對按一定策略找到的知識進行解釋執行，並把結果記錄到動態庫的適當空間中。
知識獲取機制負責建立、修改和擴充知識庫，主要是為了實現專家系統的自我學習，在系統使用過程中能自動獲取知識，不斷完善擴大現有系統功能。
解釋機制是對求解過程做出說明，並回答用戶的提問。兩個最基本的問題是「Why」和「How」。
人機介面的主要功能是實現系統與用戶之間的雙向信息轉換，即系統將用戶的輸入信息翻譯成系統所熟悉的信息表達方式。
專家系統的工作過程是系統根據用戶提出的目標，以綜合資料庫為出發點，在控制策略的指導下，由推理機運用知識庫中的有關知識，通過不斷的探索推理以實現求解的目標。
15、材料設計的概念及其三個層次：
定義：運用高性能計算機和功能強大的材料專業軟體對材料科學與工程學科的基本要素及各要素之間的關系進行定量或半定量表徵，在計算機上進行材料的成分和工藝設計，並預測其結構和性能，這就是所謂材料設計與模擬，又名計算材料學。
材料設計的研究層次，目前未有統一和嚴格的劃分。一般來說，可按研究對象的空間尺度劃分為三個層次：微觀設計層次，空間尺度約為1nm；連續模型層次，尺度約為1m；工程設計層次，尺度對應宏觀材料，涉及大塊材料的加工和使用性能。

16、第一性原理的概念：
所謂第一性原理，是指只需要5個基本物理常數(電子質量me、電子電量e、普朗克常數h、真空的光速c和玻爾茲曼常數kB)以及原子種類和原子在空間中的位置安排(即晶體結構)，不需要其它經驗參數，就可以非常精確地計算出體系的總能、微觀結構與狀態。

二、簡答
1、計算機在材料科學與工程中的五大應用：(課本2—5頁，自己總結歸納)
1）用於新材料和新合金的設計：
2）用於材料科學研究中的模擬：
3）用於材料工藝過程的優化及自動控制：
4）用於材料組成和微觀結構的表徵：
5）用於數據和圖像處理及其他：
2.數學模型的含義和分類：
數學模型定義：
以相應的客觀原型作為背景加以抽象的數學概念、數學式子、數學理論等叫做數學模型。或者是那些反映特定問題或特定事物系統的數學符號系統叫做數學模型。其目的是解決實際的問題。
數學模型分類：
按建立模型的數學方法分類：圖論模型、微分方程模型、隨機模型、模擬模型等。
按模型的特徵分類：離散模型、連續性模型、線性模型和非線性模型等。
3、FDM和FEM的解題步驟：
FDM解題步驟：
1)建立微分方程
根據問題的性質選擇計算區域，建立微分方程式，寫出初始條件和邊界條件。
2)構建差分格式
首先對求解區域進行離散化，確定計算節點，選擇網格布局、差分形式和步長；然後以有限差分代替無限微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及邊界條件。
3)求解差分方程
差分方程通常是一組數量較多的線性代數方程，其求解方法主要包括：精確法和近似法。精確法又叫直接法，主要包括矩陣法、Gauss消元法及主元素消元法等；近似法又叫間接法，以迭代法為主，包括直接迭代法、間接迭代法以及超鬆弛迭代法。
4)精度分析和檢驗
對所得到的數值進行精度與收斂性分析和檢驗。
FEM解題步驟：
有限元法的計算步驟歸納為以下三個基本步驟：網格劃分，單元分析，整體分析。
1）網格劃分
有限元法的基礎是用有限個單元體的集合來代替原有的連續體。因此首先要對彈性體進行必要的簡化，再將彈性體劃分為有限個單元組成的離散體。單元之間通過單元節點相連接。由單元、結點、結點連線構成的集合稱為網格。
通常把三維實體劃分成4面體或6面體單元的網格，平面問題劃分成三角形或四邊形單元的網格。
2）單元分析
對於彈性力學問題，單元分析，就是建立各個單元的節點位移和節點力之間的關系式。
由於將單元的節點位移作為基本變數，進行單元分析首先要為單元內部的位移確定一個近似表達式，然後計算單元的應變、應力，再建立單元中節點力與節點位移的關系式。
3） 整體分析
對由各個單元組成的整體進行分析，建立節點外載荷與結點位移的關系，以解出結點位移，這個過程為整體分析。再以彈性力學的平面問題為例，如右圖所示，在邊界結點i上受到集中力作用。結點i是三個單元的結合點，因此要把這三個單元在同一結點上的結點力匯集在一起建立平衡方程。
4.專家系統的分類：
按照工程中求解問題的不同性質，將專家系統分為下列幾類：
1）解釋專家系統：通過對已知信息和數據的分析和解釋，確定它們的含義，如圖像分析、化學結構分析和信號解釋等。
2）預測專家系統：通過對過去和現在已知狀況的分析，推斷未來可能發生的情況，如天氣預報、人口預測、經濟預測、軍事預測。
3）診斷專家系統：根據觀察到得情況來推斷某個對象機能失常（即故障）的原因，如醫療診斷、軟體故障診斷、材料失效診斷等。
4）設計專家系統：工具設計要求，求出滿足設計問題約束的目標配置，如電路設計、土木建築工程設計、計算機結構設計、機械產品設計和生產工藝設計等。
5）規劃專家系統：找出能夠達到給定目標的動作序列或步驟，如機器人規劃、交通運輸調度、工程項目論證、通信與軍事指揮以及農作物施肥方案等。
6）監視專家系統：對系統、對象或過程的行為進行不斷觀察，並把觀察到行為與其應當具有的行為進行比較，以便發現異常情況，發出警報，如核電站的安全監視等。
7）控制專家系統：自適應地管理一個受控對象的全面行為，使之滿足預期的要求，如空中交通管制、商業管理、作戰管理、自主機器人控制、生產過程式控制制。

三、計算：
有限差分法在熱傳導方面的應用：
FDM解題示例
1. 問題
設有一爐牆，厚度為 ，爐牆的內壁溫度T0=900C，外壁溫度Tm=100 C，求爐牆沿厚度方向上的溫度分布。
2. 分析
這是一個一維穩態熱傳導問題，其邊界條件為T0=900C， Tm=100 C，可以用有限差分法求得沿爐牆厚度方向上的若干個節點的溫度值。

FDM的數學基礎：
在數值計算中，函數(function)被考慮成兩列表格的形式。一列是獨立變數的(離散)值xi,一列是xi處相應的函數值，記為fi或f(xi)。
採用運算元(operator)的觀點，定義三種運算元：
(向前差分運算元): fi fi+1 fi
(向後差分運算元): fi fi fi1
(中心差分運算元): fi fi+1/2 fi1/2
其中，fi1 = f(xih), fi1/2 = f(xih/2), xi+1xi=h,對所有i相同。
上述對應於一階導數的差分稱為一階差分，相應的對應於二階導數的差分稱為二階差分：
2fi =( fi+1 fi)=fi+22fi+1+fi
2fi = ( fi fi1)=fi2fi1+fi2
2fi =fi+12fi+fi1
三種運算元有關系： 2= 。其餘高階差分可以依次類推。
函數的差分與自變數的差分之比，稱為函數對自變數的差商。以二階為例，其三種形式為：
向前差商：

向後差商：

中心差商：
多元函數的差分與差商也可用類似方法得到。
有限差分法的本質是用差分代替微分，用差商代替微商的幾何意義是用函數在某區域內的平均變化率來代替函數的真實變化率。對於一階微商，存在以下三種典型的差分形式：
向前差商：

向後差商：

中心差商：
根據泰勒級數，可以計算出上述三種差分形式的誤差，分別為：

從這三式可以看出，用不同方法定義的差商代替微商所引起的誤差是不同的。用向前差商或向後差商代替微商，其階段誤差為O(x)，是x的一次方的數量級；用中心差商代替微商，其截斷誤差為O(x)2，是x二次方的數量級，即用中心差商代替微商比用向前差商或向後差商代替微商的誤差小一個數量級。
因此，在應用FDM進行計算的時候，必須注意差分方程的形式，建立方法及由此產生的誤差。
注意：1、選節點數目要適當4—5個為宜；
2、要嚴格依照解題步驟答題，尤其不要遺漏最後的精度分析和檢驗步驟。

Ⅱ 約翰·馮·諾依曼的生平

馮·諾依曼，著名匈牙利裔美籍數學家 計算機科學家 物理學家 化學家 。1903年12月28日生於匈牙利布達佩斯的一個猶太人家庭。
馮·諾依曼的父親麥克斯年輕有為、風度翩翩，憑著勤奮、機智和善於經營，年輕時就已躋身於布達佩斯的銀行家行列。馮·諾依曼的母親是一位善良的婦女，賢慧溫順，受過良好教育。
馮·諾依曼從小就顯示出數學和記憶方面的天才，從孩提時代起，馮諾依曼就有過目不忘的天賦，六歲時他就能用希臘語同父親互相開玩笑。六歲時他能心算做八位數除法，八歲時掌握微積分，在十歲時他花費了數月讀完了一部四十八卷的世界史，並可以對當前發生的時間和歷史上某個時間做出對比，並討論兩者的軍事理論和政治策略 ，十二歲就讀懂領會了波萊爾的大作《函數論》要義。
微積分的實質是對無窮小量進行數學分析。人類探索有限、無限以及它們之間的關系由來已久，l7世紀由牛頓萊布尼茨發現的微積分，是人類探索無限方面取得的一項激動人心的偉大成果。三百年來，它一直是高等學府的教學內容，隨著時代的發展，微積分在不斷地改變它的形式，概念變得精確了，基礎理論扎實了，甚至有不少簡明恰當的陳述。但不管怎麼說，八歲的兒童要弄懂微積分，仍然是罕見的。上述種種傳聞雖然不盡可信，但馮·諾伊曼的才智過人，則是與他相識的人們的一致看法。
1914年夏天，約翰進入了大學預科班學習，是年7月28日，奧匈帝國借故向塞爾維亞宣戰，揭開了第一次世界大戰的序幕。由於戰爭動亂連年不斷，馮·諾依曼全家離開過匈牙利，以後再重返布達佩斯。當然他的學業也會受到影響。但是在畢業考試時，馮·諾依曼的成績仍名列前茅（除體育和書寫外，都是A ）。
1921年，馮·諾依曼通過「成熟」考試時，已被大家當作數學家了。他的第一篇論文是和菲克特合寫的，那時他還不到18歲。麥克斯由於考慮到經濟上原因，請人勸阻年方17的馮·諾依曼不要專攻數學，後來父子倆達成協議，馮·諾依曼便去攻讀化學。
其後的四年間，馮·諾依曼在布達佩斯大學注冊為數學方面的學生，但並不聽課，只是每年按時參加考試，考試都得A 。與此同時，馮·諾依曼進入柏林大學(1921年)，1923年又進入瑞士蘇黎世聯邦工業大學學習化學。1926年他在蘇黎世聯邦工業大學獲得化學方面的大學畢業學位，通過在每學期期末回到布達佩斯大學通過課程考試，他也獲得了布達佩斯大學數學博士學位。
馮·諾依曼的這種不參加聽課只參加考試的求學方式，當時是非常特殊的，就整個歐洲來說也是完全不合規則的。但是這不合規則的學習方法，卻又非常適合馮·諾依曼。
逗留在蘇黎世期間，馮·諾依曼常常利用空餘時間研讀數學、寫文章和數學家通信。在此期間馮·諾依曼受到了希爾伯特和他的學生施密特和外爾的思想影響，開始研究數理邏輯。當時外爾和波伊亞兩位也在蘇黎世，他和他們有過交往。一次外爾短期離開蘇黎世，馮·諾依曼還代他上過課。聰慧加上得天獨厚的栽培，馮·諾依曼在茁壯地成長，當他結束學生時代的時候，他已經漫步在數學、物理、化學三個領域的某些前沿。
1926年春，馮·諾依曼到哥廷根大學任希爾伯特的助手。1927～1929年，馮·諾依曼在柏林大學任兼職講師，期間他發表了集合論、代數和量子理論方面的文章。1927年馮·諾依曼到波蘭里沃夫出席數學家會議，那時他在數學基礎和集合論方面的工作已經很有名氣。
1929年，馮·諾依曼轉任漢堡大學兼職講師。1930年他首次赴美，成為普林斯頓大學的客座講師。善於匯集人才的美國不久就聘馮·諾依曼為客座教授。
馮·諾依曼曾經算過，德國大學里現有的和可以期待的空缺很少，照他典型的推理得出，在三年內可以得到的教授任命數是三，而參加競爭的講師則有40名之多。在普林斯頓，馮·諾依曼每到夏季就回歐洲，一直到1933年擔任普林斯頓高級研究院教授為止。當時高級研究院聘有六名教授，其中就包括愛因斯坦，而年僅30歲的馮·諾依曼是他們當中最年輕的一位。
在高等研究院初創時間，歐洲來訪者會發現，那裡充滿著一種極好的不拘禮節的、濃厚的研究風氣。教授們的辦公室設置在大學的「優美大廈」里，生活安定，思想活躍，高質量的研究成果層出不窮。可以這樣說，那裡集中了有史以來最多的有數學和物理頭腦的人才。
1930年馮·諾依曼和瑪麗達·柯維斯結婚。1935年他們的女兒瑪麗娜出生在普林斯頓。馮·諾依曼家裡常常舉辦時間持續很長的社交聚會，這是遠近皆知的。1937年馮·諾依曼與妻子離婚，1938年又與克拉拉·丹結婚，並一起回到普林斯頓。丹隨馮·諾依曼學數學，後來成為優秀的程序編制家。與克拉拉婚後，馮·諾依曼的家仍是科學家聚會的場所，還是那樣殷勤好客，在那裡人人都會感到一種聰慧的氣氛。
二次大戰歐洲戰事爆發後，馮·諾依曼的活動超越了普林斯頓，參與了同反法西斯戰爭有關的多項科學研究計劃。1943年起他成了製造原子彈的顧問，戰後仍在政府諸多部門和委員會中任職。1954年又成為美國原子能委員會成員。
馮·諾依曼的多年老友，原子能委員會主席斯特勞斯曾對他作過這樣的評價：從他被任命到1955年深秋，馮·諾依曼幹得很漂亮。他有一種使人望塵莫及的能力，最困難的問題到他手裡。都會被分解成一件件看起來十分簡單的事情，用這種辦法，他大大地促進了原子能委員會的工作。 馮·諾伊曼是二十世紀最重要的數學家之一，在純粹數學和應用數學方面都有傑出的貢獻。他的工作大致可以分為兩個時期：1940年以前，主要是純粹數學的研究：在數理邏輯方面提出簡單而明確的序數理論，並對集合論進行新的公理化，其中明確區別集合與類；其後，他研究希爾伯特空間上線性自伴運算元譜理論，從而為量子力學打下數學基礎；1930年起，他證明平均遍歷定理開拓了遍歷理論的新領域；1933年，他運用緊致群解決了希爾伯特第五問題；此外，他還在測度論、格論和連續幾何學方面也有開創性的貢獻；從1936～1943年，他和默里合作，創造了運算元環理論，即所謂的馮·諾伊曼代數。
1940年以後，馮·諾伊曼轉向應用數學。如果說他的純粹數學成就屬於數學界，那麼他在力學、經濟學、數值分析和電子計算機方面的工作則屬於全人類。第二次世界大戰開始，馮·諾伊曼因戰事的需要研究可壓縮氣體運動，建立沖擊波理論和湍流理論，發展了流體力學；從1942年起，他同莫根施特恩合作，寫作《博弈論和經濟行為》一書，這是博弈論(又稱對策論)中的經典著作，使他成為數理經濟學的奠基人之一。
馮·諾伊曼對世界上第一台電子計算機ENIAC(電子數字積分計算機)的設計提出過建議，1945年3月他在共同討論的基礎上起草ENIAC(電子離散變數自動計算機)設計報告初稿，這對後來計算機的設計有決定性的影響，特別是確定計算機的結構，採用存儲程序以及二進制編碼等，至今仍為電子計算機設計者所遵循。
1946年，馮·諾依曼開始研究程序編制問題，他是現代數值分析——計算數學的締造者之一，他首先研究線性代數和算術的數值計算，後來著重研究非線性微分方程的離散化以及穩定問題，並給出誤差的估計。他協助發展了一些演算法，特別是蒙特卡羅方法。
40年代末，他開始研究自動機理論，研究一般邏輯理論以及自復制系統。在生命的最後時刻他深入比較天然自動機與人工自動機。他逝世後其未完成的手稿在1958年以《計算機與人腦》為名出版。
馮·諾伊曼的主要著作收集在《馮·諾伊曼全集》(6卷，1961)中。
無論在純粹數學還是在應用數學研究方面，馮·諾依曼都顯示了卓越的才能，取得了眾多影響深遠的重大成果。不斷變換研究主題，常常在幾種學科交叉滲透中獲得成就是他的特色。
最簡單的來說，他的精髓貢獻是2點：2進制思想與程序內存思想。
回顧20世紀科學技術的輝煌發展時，不能不提及20世紀最傑出的數學家之一的馮·諾依曼。眾所周知，1946年發明的電子計算機，大大促進了科學技術的進步，大大促進了社會生活的進步。鑒於馮·諾依曼在發明電子計算機中所起到關鍵性作用，他被西方人譽為「計算機之父」。而在經濟學方面，他也有突破性成就，被譽為「博弈論之父」。在物理領域，馮·諾依曼在30年代撰寫的《量子力學的數學基礎》已經被證明對原子物理學的發展有極其重要的價值。在化學方面也有相當的造詣，曾獲蘇黎世高等技術學院化學系大學學位。與同為猶太人的哈耶克一樣，他無愧是上世紀最偉大的全才之一。
馮·諾依曼在數學的諸多領域都進行了開創性工作，並作出了重大貢獻。在第二次世界大戰前，他主要從事運算元理論、集合論等方面的研究。1923年關於集合論中超限序數的論文，顯示了馮·諾依曼處理集合論問題所特有的方式和風格。他把集會論加以公理化，他的公理化體系奠定了公理集合論的基礎。他從公理出發，用代數方法導出了集合論中許多重要概念、基本運算、重要定理等。特別在1925年的一篇論文中，馮·諾依曼就指出了任何一種公理化系統中都存在著無法判定的命題。
1933年，馮·諾依曼解決了希爾伯特第5問題，即證明了局部歐幾里得緊群是李群。1934年他又把緊群理論與波爾的殆周期函數理論統一起來。他還對一般拓撲群的結構有深刻的認識，弄清了它的代數結構和拓撲結構與實數是一致的。他對運算元代數進行了開創性工作，並奠定了它的理論基礎，從而建立了運算元代數這門新的數學分支。這個分支在當代的有關數學文獻中均稱為馮·諾依曼代數。這是有限維空間中矩陣代數的自然推廣。馮·諾依曼還創立了博弈論這一現代數學的又一重要分支。1944年發表了奠基性的重要論文《博弈論與經濟行為》。論文中包含博弈論的純粹數學形式的闡述以及對於實際博弈應用的詳細說明。文中還包含了諸如統計理論等教學思想。馮·諾依曼在格論、連續幾何、理論物理、動力學、連續介質力學、氣象計算、原子能和經濟學等領域都作過重要的工作。
馮·諾依曼對人類的最大貢獻是對計算機科學、計算機技術、數值分析和經濟學中的博弈論的開拓性工作。
一般認為ENIAC機是世界第一台電子計算機，它是由美國科學家研製的，於1946年2月14日在費城開始運行。其實由湯米、費勞爾斯等英國科學家研製的「科洛薩斯」計算機比ENIAC機問世早兩年多，於1944年1月10日在布萊奇利園區開始運行。ENIAC機證明電子真空技術可以大大地提高計算技術，不過，ENIAC機本身存在兩大缺點：（1）沒有存儲器；（2）它用布線接板進行控制，甚至要搭接幾天，計算速度也就被這一工作抵消了。ENIAC機研製組的莫克利和埃克特顯然是感到了這一點，他們也想盡快著手研製另一台計算機，以便改進。
1944年，諾伊曼參加原子彈的研製工作，該工作涉及到極為困難的計算。在對原子核反應過程的研究中，要對一個反應的傳播做出「是」或「否」的回答。解決這一問題通常需要通過幾十億次的數學運算和邏輯指令，盡管最終的數據並不要求十分精確，但所有的中間運算過程均不可缺少，且要盡可能保持准確。他所在的洛·斯阿拉莫斯實驗室為此聘用了一百多名女計算員，利用台式計算機從早到晚計算，還是遠遠不能滿足需要。無窮無盡的數字和邏輯指令如同沙漠一樣把人的智慧和精力吸盡。
被計算機所困擾的諾伊曼在一次極為偶然的機會中知道了ENIAC計算機的研製計劃，從此他投身到計算機研製這一宏偉的事業中，建立了一生中最大的豐功偉績。
1944年夏的一天，正在火車站候車的諾伊曼巧遇戈爾斯坦，並同他進行了短暫的交談。當時，戈爾斯坦是美國彈道實驗室的軍方負責人，他正參與ENIAC計算機的研製工作。在交談中，戈爾斯坦告訴了諾伊曼有關ENIAC的研製情況。具有遠見卓識的諾伊曼為這一研製計劃所吸引，他意識到了這項工作的深遠意義。
馮·諾依曼由ENIAC機研製組的戈爾德斯廷中尉介紹參加ENIAC機研製小組後，便帶領這批富有創新精神的年輕科技人員，向著更高的目標進軍。1945年，他們在共同討論的基礎上，發表了一個全新的「存儲程序通用電子計算機方案」--EDVAC（Electronic Discrete Variable AutomaticCompUter的縮寫）。在這過程中，馮·諾依曼顯示出他雄厚的數理基礎知識，充分發揮了他的顧問作用及探索問題和綜合分析的能力。諾伊曼以「關於EDVAC的報告草案」為題，起草了長達101頁的總結報告。報告廣泛而具體地介紹了製造電子計算機和程序設計的新思想。這份報告是計算機發展史上一個劃時代的文獻，它向世界宣告：電子計算機的時代開始了。
ENIAC方案明確奠定了新機器由五個部分組成，包括：運算器、控制器、存儲器、輸入和輸出設備，並描述了這五部分的職能和相互關系。報告中，諾伊曼對ENIAC中的兩大設計思想作了進一步的論證，為計算機的設計樹立了一座里程碑。
設計思想之一是二進制，他根據電子元件雙穩工作的特點，建議在電子計算機中採用二進制。報告提到了二進制的優點，並預言，二進制的採用將大簡化機器的邏輯線路。
計算機基本工作原理是存儲程序和程序控制，它是由世界著名數學家馮·諾依曼提出的。美籍匈牙利數學家馮·諾依曼被稱為「計算機之父」。
實踐證明了諾伊曼預言的正確性。如今，邏輯代數的應用已成為設計電子計算機的重要手段，在ENIAC中採用的主要邏輯線路也一直沿用著，只是對實現邏輯線路的工程方法和邏輯電路的分析方法作了改進。 馮諾依曼體系機構
說到計算機的發展，就不能不提到美國科學家馮諾依曼。從20世紀初，物理學和電子學科學家們就在爭論製造可以進行數值計算的機器應該採用什麼樣的結構。人們被十進制這個人類習慣的計數方法所困擾。所以，那時以研製模擬計算機的呼聲更為響亮和有力。20世紀30年代中期，美國科學家馮諾依曼大膽的提出，拋棄十進制，採用二進製作為數字計算機的數制基礎。同時，他還說預先編制計算程序，然後由計算機來按照人們事前制定的計算順序來執行數值計算工作。
馮諾依曼理論的要點是：數字計算機的數制採用二進制；計算機應該按照程序順序執行。
人們把馮諾依曼的這個理論稱為馮諾依曼體系結構。從ENIAC（ENIVAC並不是馮諾依曼體系）到當前最先進的計算機都採用的是馮諾依曼體系結構。所以馮諾依曼是當之無愧的數字計算機之父。
根據馮諾依曼體系結構構成的計算機，必須具有如下功能：
把需要的程序和數據送至計算機中。
必須具有長期記憶程序、數據、中間結果及最終運算結果的能力。
能夠完成各種算術、邏輯運算和數據傳送等數據加工處理的能力。
能夠根據需要控製程序走向，並能根據指令控制機器的各部件協調操作。
能夠按照要求將處理結果輸出給用戶。
為了完成上述的功能，計算機必須具備五大基本組成部件，包括：
輸入數據和程序的輸入設備
記憶程序和數據的存儲器
完成數據加工處理的運算器
控製程序執行的控制器
輸出處理結果的輸出設備 程序內存是諾伊曼的另一傑作。通過對ENIAC的考察，諾伊曼敏銳地抓住了它的最大弱點－－沒有真正的存儲器。ENIAC只在20個暫存器，它的程序是外插型的，指令存儲在計算機的其他電路中。這樣，解題之前，必需先想好所需的全部指令，通過手工把相應的電路聯通。這種准備工作要花幾小時甚至幾天時間，而計算本身只需幾分鍾。計算的高速與程序的手工存在著很大的矛盾。
針對這個問題，諾伊曼提出了程序內存的思想：把運算程序存在機器的存儲器中，程序設計員只需要在存儲器中尋找運算指令，機器就會自行計算，這樣，就不必每個問題都重新編程，從而大大加快了運算進程。這一思想標志著自動運算的實現，標志著電子計算機的成熟，已成為電子計算機設計的基本原則。
1946年7，8月間，馮·諾依曼和戈爾德斯廷、勃克斯在ENIAC方案的基礎上，為普林斯頓大學高級研究所研製IAS計算機時，又提出了一個更加完善的設計報告《電子計算機邏輯設計初探》．以上兩份既有理論又有具體設計的文件，首次在全世界掀起了一股「計算機熱」，它們的綜合設計思想，便是著名的「馮·諾依曼機」，其中心就是有存儲程序原則--指令和數據一起存儲（存儲機）。這個概念被譽為「計算機發展史上的一個里程碑」。它標志著電子計算機時代的真正開始，指導著以後的計算機設計。自然一切事物總是在發展著的，隨著科學技術的進步，今天人們又認識到「馮·諾依曼機」的不足，它妨礙著計算機速度的進一步提高，而提出了「非馮·諾依曼機」的設想。
馮·諾依曼還積極參與了推廣應用計算機的工作，對如何編製程序及搞數值計算都作出了傑出的貢獻。馮·諾依曼於1937年獲美國數學會的波策獎；1938年獲得博謝紀念獎；1947年獲美國總統的功勛獎章、美國海軍優秀公民服務獎；1956年獲美國總統的自由獎章和費米獎。 馮·諾依曼逝世後，未完成的手稿於1958年以《計算機與人腦》為名出版．他的主要著作收集在六卷《馮·諾依曼全集》中，1961年出版。
另外，馮·諾依曼40年代出版的著作《博弈論和經濟行為》，使他在經濟學和決策科學領域豎起了一塊豐碑。他被經濟學家公認為博弈論之父。當時年輕的約翰·納什在普林斯頓求學期間開始研究發展這一領域，並在1994年憑借對博弈論的突出貢獻獲得了諾貝爾經濟學獎。

Ⅲ 信息技術進步對會計制度有什麼影響

有這么幾個主要影響：

1. 組織結構：由原來的手工賬變為電子記賬，大大提高了會計人員的工作效率，由此原來的財務需要一組會計，現在電子賬可以由一個人獨立完成所有賬務處理，精簡了會計班子

2. 管理會計：手工賬下的財務分析相對較為麻煩，但電子記賬讓財務分析變得非常方便，財務軟體也有自帶財務分析相關的功能，可以為管理提供許多有用的信息

3. 企業管理：信息技術還改變了會計制度的銜接問題，比如像企業資源管理計劃（ERP），是面向公司整體的一個管理工具，如果沒有信息技術的支持，會計也只是反映企業發生過的業務而已，很難（至少說不是很及時）參與到企業管理中來，信息技術將會計制度銜接到企業管理層面，為企業管理服務

4. 憑證介質：信息技術改變了原始憑證的存在方式，也對會計制度有所沖擊。現在電子發票替代了傳統發票，會計制度也要相應改變，符合規定的電子發票也可以作為可用憑證進行入賬

5. 稅務：像稅務層面也不用多說，現在都不用跑稅務局了，直接在計算機上操作抄報稅即可，省去了不少事情

6. 轉賬：以前的會計制度對支票、業務結算申請書等要求極為嚴格，現在一般情況下都是直接使用網銀操作，少數情況會用到支票等實體的東西，而且像承兌匯票這樣的東西也都快成為歷史了，之後的承兌都是電子匯票，隨之像會計制度上重視保管這些東西的意義都不是很大了，還有現金盤點等，現在企業里邊現金也很少了，也是會計制度改革的方向之一
   

Ⅳ 給一個excel表格（經緯度），需要做出他的離散化散點圖，並用Kmeans算出聚類中心該怎麼辦

用python或許能容易點。

Ⅳ 如何學好數學建模

數學建模是使用數學模型解決實際問題。
對數學的要求其實不高。
我上大一的時候，連高等數學都沒學就去參賽，就能得獎。
可見數學是必需的，但最重要的是文字表達能力
回答者：抉擇415 - 童生 一級 3-13 14:48

數學模型
數學模型是對於現實世界的一個特定對象，一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的假設，運用適當的數學工具，得到一個數學結構。

簡單地說：就是系統的某種特徵的本質的數學表達式（或是用數學術語對部分現實世界的描述），即用數學式子（如函數、圖形、代數方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統在某一方面的存在規律。

數學建模
數學建模是利用數學方法解決實際問題的一種實踐。即通過抽象、簡化、假設、引進變數等處理過程後，將實際問題用數學方式表達，建立起數學模型，然後運用先進的數學方法及計算機技術進行求解。

數學建模將各種知識綜合應用於解決實際問題中，是培養和提高學生應用所學知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一。

數學建模的一般方法和步驟
建立數學模型的方法和步驟並沒有一定的模式，但一個理想的模型應能反映系統的全部重要特徵：模型的可靠性和模型的使用性。建模的一般方法：
機理分析：根據對現實對象特性的認識，分析其因果關系，找出反映內部機理的規律，所建立的模型常有明確的物理或現實意義。
測試分析方法：將研究對象視為一個「黑箱」系統，內部機理無法直接尋求，通過測量系統的輸入輸出數據，並以此為基礎運用統計分析方法，按照事先確定的准則在某一類模型中選出一個數據擬合得最好的模型。 測試分析方法也叫做系統辯識。
將這兩種方法結合起來使用，即用機理分析方法建立模型的結構，用系統測試方法來確定模型的參數，也是常用的建模方法。
在實際過程中用那一種方法建模主要是根據我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定。機理分析法建模的具體步驟大致如下：
1、 實際問題通過抽象、簡化、假設，確定變數、參數；
2、 建立數學模型並數學、數值地求解、確定參數；
3、 用實際問題的實測數據等來檢驗該數學模型；
4、 符合實際，交付使用，從而可產生經濟、社會效益；不符合實際，重新建模。

數學模型的分類：
1、 按研究方法和對象的數學特徵分：初等模型、幾何模型、優化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩定性模型、統計模型等。
2、 按研究對象的實際領域（或所屬學科）分：人口模型、交通模型、環境模型、生態模型、生理模型、城鎮規劃模型、水資源模型、污染模型、經濟模型、社會模型等。

數學建模需要豐富的數學知識，涉及到高等數學，離散數學，線性代數，概率統計,復變函數等等 基本的數學知識
同時，還要有廣泛的興趣，較強的邏輯思維能力，以及語言表達能力等等

一般大學進行數學建模式從大二下學期開始，一般在九月份開始競賽，一般三天時間，三到四人一組，合作完成！！！

數模網 ：http://www.shumo.com/main/

Ⅵ 後現代主義文學核心觀念

1.反對邏各斯中心主義
2.關系的離散化
3.意義的離散化
4.時間的空間化
5.空間的時間化
1是基石 2、3是核心 4、5是表徵
我的老師[博士學歷]說的.

Ⅶ 求數學模型，各種模型；各種演算法

數學建模的十大演算法
1、蒙特卡羅演算法（該演算法又稱隨機性模擬演算法，是通過計算機模擬來解決問題的演算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法）

2、數據擬合、參數估計、插值等數據處理演算法（比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，而處理數據的關鍵就在於這些演算法，通常使用Matlab作為工具）

3、線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題（建模競賽大多數問題屬於最優化問題，很多時候這些問題可以用數學規劃演算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟體實現）

4、圖論演算法（這類演算法可以分為很多種，包括最短路、網路流、二分圖等演算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真准備）

5、動態規劃、回溯搜索、分治演算法、分支定界等計算機演算法（這些演算法是演算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中）

6、最優化理論的三大非經典演算法：模擬退火法、神經網路、遺傳演算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的演算法，對於有些問題非常有幫助，但是演算法的實現比較困難，需慎重使用）

7、網格演算法和窮舉法（網格演算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的演算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視演算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具）

8、一些連續離散化方法（很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化後進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的）

9、數值分析演算法（如果在比賽中採用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的演算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等演算法就需要額外編寫庫函數進行調用）

10、圖象處理演算法（賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理）

Ⅷ 馮·諾依曼是男的還是女的呢

男的

介紹見鏈接

Ⅸ 節點離散形式

這里利用（8.2.20）式進行節點離散，即

Δ²（σφ）+σΔ²φ-φΔ²σ-2k²σφ=-Iδ（x-x₀）δ（z-z₀）（10.2.1）

同樣採用（10.1.2）式混合邊界條件，即

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以上各量含義同第一節。

10.2.1 差分方程

節點離散的差分方程也是利用混合邊界條件並利用微分方程（10.2.1）式進行的。對二維地電斷面的離散化同樣用圖10.1所示的網格，單元和節點的形成方法也相同。參看圖10.2，採用中心差商代表微商，同樣有

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式中：f為任意函數；f_i-1，j、f_i，j和f_i+1，j分別表示第（i-1，j）點、第（i，j）點和第（i+1，j）點的函數值；Δx_i-1為第（i-1，j）點到第（i，j）點的距離，Δx_i為（i，j）點到第（i+1，j）點的距離；同樣 f_i，j-1、f_i，j+1為（i，j-1）點和（i，j+1）點的函數值；Δz_j-1為（i，j-1）點到（i，j）點的距離，Δz_j為（i，j）點到（i，j+1）點的距離。

將（10.2.2）式應用於（10.2.1）式可得差分方程。其中（10.2.1）式的第一項為

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第二項有

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第三項有

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第四項有

-2k²σφ=-2k²σ_i，jφ_i，j

對於（10.2.1）式右端項，由於網格的離散，電流密度應用電流強度來代替，這樣整理求和可得

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為簡單計，寫為下列形式

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式中節點（i，j）與（i-1，j）之間的連接系數

為

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式中節點（i，j）與（i+1，j）之間的連接系數

為

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式中節點（i，j）與（i，j-1）之間的連接系數

為

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式中節點（i，j）與（i，j+1）之間的連接系數

為

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式中節點（i，j）自身連接系數

為

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從（10.2.4）式可見，節點（i，j）的φ值僅與附近節點（i-1，j），（i+1，j），（i，j-1），（i，j+1）的φ值有關，連接系數C在已知地電斷面σ分布的情況下，僅僅只由網格的形狀、節點位置所決定。

10.2.2 邊界條件的處理

當節點位於網格邊界上時，利用邊界條件可得出邊界節點所滿足的差分方程如下。

10.2.2.1 地面上的邊界節點

如圖10.1所示，地面節點就是j=1 行，i=2，3，…，n-1 各列的節點，各節點均為z=0，地面滿足諾依曼條件，即

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假設空中有虛行j=0的各節點存在，那麼它就應該看成是j=2行各節點的鏡像，於是它們應是j=2行各節點的相應φ和σ，即

σ_i，0=σ_i，2

φ_i，0=φ_i，2

Δz₀=Δz₁

代入（10.2.4）式，將

φ_i，j+1

與

φ_i，j-1合並，得

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式中：

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10.2.2.2 地面左右邊角點

即節點（1，1）和節點（N，1）兩個節點，應用混合邊界條件

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對於（1，1）節點：

由於

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於是

-φ_i+φ_i-1+αφ_iΔ_icosθ=0

φ_i-1=φ_i-φ_iαΔx_icosθ=φ_i（1-αΔx_icosθ）

所以

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於是可將

φ_i-1，j項合並到

φ_i，j項中去，同時考慮地面節點的特點，將

φ_i，j-1並入

φ_i，j+1項中，可得下列形式差分方程：

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式中：

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同樣，對於（N，1）節點有：

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式中：

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10.2.2.3 底部邊界上的節點

即j=M，i=2，3，…，N-1，應用混合邊界條件

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可將

φ_i，j+1並入到

φ_i，j中去，於是有

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式中：

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10.2.2.4 底部左右角點

即是節點（1，M）和節點（N，M），這兩個節點即是位於底邊，又位於左右邊界，所以在應用混合邊界條件時，應考慮下面兩種形式

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這里θ₁為電源點到欲計算節點的矢徑r與x方向的夾角；θ₂為電源點到欲計算節點的矢徑r與z方向的夾角。

於是可以得出，對於節點（1，M）而言，將

φ_i-1，j和

φ_i，j+1兩項均並入

φ_i，j中去，得到

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式中：

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對於節點（N，M）可將

φ_i，j+1和

φ_i+1，j並入

φ_i，j中去，得到

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式中：

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10.2.2.5 左邊界節點

即i=1，j=2，3，…，M-1，應用混合邊界條件

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可將

φ_i-1，j並入

φ_i，j中去，得到

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式中：

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10.2.2.6 右邊界節點

即i=N，j=2，3，…，M-1，應用混合邊界條件

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可將

並入

中去，

得

到

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式中：

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10.2.3 容量矩陣的特點

對所有節點都有（10.2.4）方程，當i=1，2，…，N，j=1，2，…M，得到一個M×N的聯立線性方程組，為方便計，寫成下列形式

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系數矩陣C為MN×MN的矩陣，稱為容量矩陣，它是網格幾何性質和物性分布的函數。

可以證明 C 是一個正定、對角占優的稀疏帶狀矩陣，且它是一個不對稱的矩陣，具有

（1）C_ii＞0

（2）

矩陣每行或每列的元素最多不超過5個非零元素，非零元素均分布在對角線附近寬度為2M+1的一個條帶之內，與面積離散類似。

（10.2.5）方程中的未知數

為一個MN維的列向量

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右端項S也為一個MN維列向量，且除了供電節點處有值S_l=I以外，其餘元素均為零

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由於系數矩陣 C 是不對稱的，因而可採用 LU 分解或高斯主元素消元法求解（10.2.5）式。

Ⅹ 2011數學建模國賽B題 求解答

B題 交巡警服務平台的設置與調度

「有困難找警察」，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負著刑事執法、治安管理、交通管理、服務群眾四大職能。為了更有效地貫徹實施這些職能，需要在市區的一些交通要道和重要部位設置交巡警服務平台。每個交巡警服務平台的職能和警力配備基本相同。由於警務資源是有限的，如何根據城市的實際情況與需求合理地設置交巡警服務平台、分配各平台的管轄范圍、調度警務資源是警務部門面臨的一個實際課題。
試就某市設置交巡警服務平台的相關情況，建立數學模型分析研究下面的問題：
（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區A的交通網路和現有的20個交巡警服務平台的設置情況示意圖，相關的數據信息見附件2。請為各交巡警服務平台分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內出現突發事件時，盡量能在3分鍾內有交巡警（警車的時速為60km/h）到達事發地。
對於重大突發事件，需要調度全區20個交巡警服務平台的警力資源，對進出該區的13條交通要道實現快速全封鎖。實際中一個平台的警力最多封鎖一個路口，請給出該區交巡警服務平台警力合理的調度方案。
根據現有交巡警服務平台的工作量不均衡和有些地方出警時間過長的實際情況，擬在該區內再增加2至5個平台，請確定需要增加平台的具體個數和位置。
（2）針對全市（主城六區A，B，C，D，E，F）的具體情況，按照設置交巡警服務平台的原則和任務，分析研究該市現有交巡警服務平台設置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請給出解決方案。
如果該市地點P（第32個節點）處發生了重大刑事案件，在案發3分鍾後接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請給出調度全市交巡警服務平台警力資源的最佳圍堵方案。

附件1：A區和全市六區交通網路與平台設置的示意圖。
附件2：全市六區交通網路與平台設置的相關數據表（共5個工作表）。

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希望對你有幫助。