因式分解的算力

A. 因式分解十字交叉法的方法

一、因式分解的基本方法，

1、提取公因式法，

2、公式法（平方差公式和完全平方公式）。

往往在題目中多少會涉及一些其他的知識，例如配方法和十字交叉法等。

二、十字交叉法

1、十字相乘法的方法：十字左邊相乘等於二次項系數,右邊相乘等於常數項,交叉相乘再相加等於一次項系數.

如圖所示：

2、十字相乘法的用處：（1）用十字相乘法來分解因式.（2）用十字相乘法來解一元二次方程.

3、十字相乘法的優點：用十字相乘法來解題的速度比較快,能夠節約時間,而且運用算量不大,不容易出錯.
4、十字相乘法的缺陷：1、有些題目用十字相乘法來解比較簡單,但並不是每一道題用十字相乘法來解都簡單.2、十字相乘法只適用於二次三項式類型的題目.3、十字相乘法比較難學.
5、十字相乘法解題實例：
1)、 用十字相乘法解一些簡單常見的題目
例1：把m²+4m-12分解因式
分析：本題中常數項-12可以分為-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1當-12分成-2×6時,才符合本題 。
因為 ：1↖ ↗ - 2

↗↘

1 6
所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）
例2：把5x²+6x-8分解因式 。
分析：本題中的5可分為1×5,-8可分為-1×8,-2×4,-4×2,-8×1.當二次項系數分為1×5,常數項分為-4×2時,才符合本題 。
因為： 1↖↗ -2

↗↘

5 -4

所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3：解方程x²-8x+15=0
分析：把x²-8x+15看成關於x的一個二次三項式,則15可分成1×15,3×5.
因為 ：1 ↖↗ -3

↗↘

1 - 5

所以原方程可變形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x²-5x-25=0
分析：把6x²-5x-25看成一個關於x的二次三項式,則6可以分為1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1.
因為 ： 2 ↖↗ -5

↗↘

3 5

所以 原方程可變形成（2x-5）（3x+5）=0
所以 x1=5/2 x2=-5/3
2)、用十字相乘法解一些比較難的題目
例5把14x²-67xy+18y²分解因式
分析：把14x²-67xy+18y²看成是一個關於x的二次三項式,則14可分為1×14,2×7,18y²可分為y.18y ,2y.9y ,3y.6y
因為 ：2x ↖↗ -9y

↗↘

7x -2y

所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)
例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
分析：在本題中,要把這個多項式整理成二次三項式的形式
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3） 4y -3
7y ╳ -1
=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1）
5 ╳ 4y - 3
=（2x -7y +1）（5x +4y -3）
說明：在本題中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解為（4y-3）（7y -1）,再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解為[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]

B. 因式分解的所有的公式

一般常用的有以下公式：

平方差公式：
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
立方和（差）公式：
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
一元二次代數：
ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
其中：x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a, x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a.

C. 因式分解的公式

因式分解公式：

平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²

把式子倒過來：

(a+b)(a-b)=a²-b²

a²±2ab+b²=(a±b)²

就變成了因式分解，因此，我們把用利用平方差公式和完全平方公式進行因式分解的方法稱之為公式法。

例：

1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)

2、p4-1

=(p²+1)(p²-1)

=(p²+1)(p+1)(p-1)

3、x²+14x+49

=x²+2·7·x+7²

=(x+7)²

4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)²

=(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)²

=[(m-2n)+(m+n)]²

=(2m-n)²

(3)因式分解的算力擴展閱讀

注意點：

1、如果多項式的首項為負，應先提取負號；

這里的「負」，指「負號」。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項系數是正的。

2、如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；

要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。

3、如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項、補項法來分解。

D. 因式分解有哪幾種計算方法是怎樣的

1、提公因式法

幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。

如果多項式的第一項是負的，一般要提出「-」號，使括弧內的第一項的系數成為正數。提出「-」號時，多項式的各項都要變號。

2、公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²；

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。

(4)因式分解的算力擴展閱讀

韋達首先發現了因式分解的工具性和重要性，在其《論方程的整理和修改》中，首先給出代數方程的多項式因式分解方法，並證得所有三次和三次以上的一元多項式在實數范圍內皆可因式分解。

1637年笛卡兒（R. Descartes，1596-1650）在其《幾何學》中，首次應用待定系數法將4次方程分解為兩個2次方程求解，並最早給出因式分解定理。

笛卡兒還改進了韋達的一些數學符號，首先用x,y,z表示未知數，用a,b,c表示已知數，這些數學習慣沿用至今。有些人可能討厭數學，就是因其有太多符號和公式。

沒有數學符號，乘法公式用語言敘述是多麼啰嗦。故數學的進步在於其引進了較好的符號體系，使用數學符號是近代數學發展最為明顯的標志之一。

E. 因式分解的公式（全面的)有哪些

平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b）^2；
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
十字相乘法初步公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
十字相乘法通用公式：如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那麼kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)
注意，a，b，c，p，q這些可能是常數，可能是代數式，注意觀察
一個快捷的方法是余式定理：如果多項式f(a)=0，那麼多項式f(x)必定含有因式x-a，再用長除法用x-a除以f(x)降次，多用幾次得到答案後，根據答案再用拆項添項的辦法去做題

F. 因式分解的公式是什麼

提取公因式am+an=a(m+n)
平方差(a+b)(a-b)=a^2-b^2
完全平方(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
十字相乘(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)+pq
進階法(ax+p)(bx+q)=abx^2+(aq+bp)x+pq

G. 因式分解的萬能公式是什麼

你所說的萬能公式，只是針對一元二次因式的分解。 ax^2 + b x +c =0 先湊完全平方，再用平方差公式。 x^2 +bx/a +c/a =0 x^2 +bx/a +b^2/4a^2 - b^2/4a^2 + c/a = 0 (x - b/2a)^2 - (b^2-4ac)/4a^2=0 [ x - b/2a +根號 (b^2-4ac)/2a]*[x-b/2a-根號（b^2-4ac)/2a]=0 或許你想要的萬能公式就是上面這個吧。

H. 因式分解是怎麼算的

因式分解，也叫分解因式，
是把多項式，變成一個個式子相乘的形式;
如果需要示意圖，就看看漢字
「目」、「月」
和
「朋」、「用」，
「月」
和
「目」
就是長為
3，寬分別是
a、b
的兩個長方形，
寫成
3a
+
3b
像
「朋」
就是一個兩項式，
如果
「月」
和
「目」
拼成一個
「用」，就是
3(a
+
b)
的一個長方形，
把
3a
+
3b
兩項相加的式子變成
3(a+b)
乘積的式子就是因式分解。
分解因式最簡單的方法，就是提公因式，
不過要注意，公因式不僅是系數、字母，還會是一個式子，例如
(a+b)(3m+2n)
+
(2m+3n)(a+b)，公因式是
(a+b)
=
(a+b)(
3m
+
2n
+
2m
+
3n
)
=
(a
+
b)(
5m
+
5n
)
這樣再提系數
5
=
5(
a
+
b
)(
m
+
n
)
公式法，
就是平方差、完全平方、立方和、立方差的公式倒過來用
a"
-
b"
=
(a
-
b)(a
+
b)
a"
+
2ab
+
b"
=
(a
+
b)"
a"
-
2ab
+
b"
=
(a
-
b)"
a"'
+
b"'
=
(a
+
b)(a"
-
ab
+
b")
a"'
-
b"'
=
(a
-
b)(a"
+
ab
+
b")
分組分解法，十字相乘法，
公式就是
x"
+
(
a
+
b
)x
+
ab
=
(
x
+
a
)(
x
+
b
)
兩個方法最好結合起來用，
二次三項式，先把一次項一分為二，
接下來把四個項，分開兩組提公因式，做起來就輕松多了;
Q
關鍵是一次項怎樣一分為二，就由常數項的正負來決定，
先看看完全平方式，把
2ab
拆開兩個
ab
做起來也覺得更加可靠。
例如
x"
+
10x
+
25
=
x"
+
5x
+
5x
+
25
=
x(
x
+
5
)
+
5(
x
+
5
)
=
(
x
+
5
)"
這樣也看到，完全平方式的
b"
必然是正數
x"
-
10x
+
25
=
x"
-
5x
-
5x
+
25
=
x(
x
-
5
)
-
5(
x
-
5
)
=
(
x
-
5
)"
Q
如果常數項是正數，
一次項就是拆開兩個絕對值比原來小的兩個項;
x"
+
10x
+
24
=
x"
+
4x
+
6x
+
24
=
x(
x
+
4
)
+
6(
x
+
4
)
=
(
x
+
4
)(
x
+
6
)
常數項
24
不變，一次項
±
10x
就都是拆開
4x
與
6x，還有
x"
-
10x
+
24
=
x"
-
4x
-
6x
+
24
=
x(
x
-
4
)
-
6(
x
-
4
)
=
(
x
-
4
)(
x
-
6
)
Q
中間一次項不變，常數項的絕對值也不變，
只要常數項變成相反數，一次項就要改變一分為二的方式
x"
-
10x
-
24
=
x"
-
12x
+
2x
-
24
=
x(
x
-
12
)
+
2(
x
-
12
)
=
(
x
+
2
)(
x
-
12
)
常數項
-24
不變，一次項
±
10x
就都是拆開
2x
與
12x，還有
x"
+
10x
-
24
=
x"
+
12x
-
2x
-
24
=
x(
x
+
12
)
-
2(
x
+
12
)
=
(
x
-
2
)(
x
+
12
)
Q
如果常數項是負數，
一次項系數就是分開兩個項的相差數;
看到了吧，一次項和常數項，絕對值都是
10x
和
24，
分解因式卻有
4
種結果，會不會看得暈頭轉向呢?
怎麼辦?只要這樣一步一步地寫出來，就肯定不會出錯了。
x"
±
5x
±
6
x"
±
10x
±
24
x"
±
15x
±
54
x"
±
20x
±
96
x"
±
25x
±
150
都是這樣有
4
種結果，
使用這個分解因式的方法，你自己也試一試吧。
只要熟悉這個方法，就連二次項系數不是
1
也同樣方便，
例如
4x"
-
31x
-
45
對著
31，我們恐怕不知道怎樣分開兩項
可是看到
-45，我們都會想到
4X9=36，5X9=45，那麼
=
4x"
-
36x
+
5x
-
45
=
4x(
x
-
9
)
+
5(
x
-
9
)
=
(
x
-
9
)(
4x
+
5
)
或者
=
4x"
+
5x
-
36x
-
45
=
x(
4x
+
5
)
-
9(
4x
+
5
)
=
(
x
-
9
)(
4x
+
5
)

I. 因式分解的所有公式

因式分解主要有十字相乘法，待定系數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，余式定理法等方法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。

而在競賽上，又有拆項和添減項法式法，換元法，長除法，短除法，除法等。

(9)因式分解的算力擴展閱讀：

原則：

1、分解因式是多項式的恆等變形，要求等式左邊必須是多項式。

2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示。

3、每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數。

4、結果最後只留下小括弧，分解因式必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止；

5、結果的多項式首項一般為正。 在一個公式內把其公因子抽出，即透過公式重組，然後再抽出公因子；

6、括弧內的首項系數一般為正；

7、如有單項式和多項式相乘，應把單項式提到多項式前。如(b+c)a要寫成a(b+c)；

8、考試時在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了，有說明實數的話，一般就要化到實數。

口訣：首項有負常提負，各項有「公」先提「公」，某項提出莫漏1，括弧裡面分到「底」。

參考資料來源：網路-因式分解-分解方法